응력도법(Flexibility Method)과 강성도법(Stiffness Method)

 

응력도법(Flexibility Method)과 강성도법(Stiffness Method)

1. 서 론
   완성 구조물은 정정, 부정정구조물로 구분된다. 정정구조물은 평형방정식만으로 그 해가 가능하지만, 부정정구조물은 평형방정식, 적합방정식 및 힘-변형 관계식이 필요하다.

   부정정 구조의 해석방법에는 여러가지 고전적 방법이 있다.
   변위 일치방법, 최소일의 방법, 3연 모멘트 방법, 처짐각법, 모멘트 분배법 등의 방법이 있다.   그러나, 오늘날에는 복잡한 고차의 부정정구조물을 간단하게 표기할 필요성이 절실해짐과 동시에 전자계산기의 발달로 인하여 점점 부정정구조물의 해석은 Matrix 해법을 이용하여 Computer로 수치해석을 수행하는데 편리한 수단을 제공하고 있다. 부정정 구조물의 해석은 응력법과 변위법으로 대별할 수 있으며, 응력법은 부정정력을 미지수로 하지만 변위법은 격점 변위를 미지수로 취한다,

2. 각 해석법의 해석 과정

  2.1 응력법의 해석 과정
      기본 과정은 변위 일치의 방법과 동일하다. 즉, 부정정력을 미지수로 하여 이를 구한 다음 평형관계로부터 격점변위, 부재력 및 반력등을 구한다.

      부정정 구조물의 해석 과정은
      ① 외적 격점하중, 부재내력를 정의하고, 부정정력 지정함.
      ② 평형조건으로 부터 평형 방정식 수립

  2.2 변위법의 해석 과정
      이방법은 격점변위를 미지수로 택한후 적합조건, 힘-변형관계식 및 평형조건을 적용하여 구조물의 격
      점 변위, 부재력 및 반력등을 구한다.

      ① 적합조건 e = B‧d : B = 적합 Matrix

      ② 힘-변형관계식 Q = S‧e : S = 전부재강도 Matrix

      ③ 평형조건 P = A‧Q : A = 평형 Matrix

               PT‧d=QT‧e             

         즉,  Q = bp‧P + bx‧X  : 평형 조건 (b : 힘변환 Matrix)                          

              e(부재변형) = f‧Q : 내적인 힘-변형 관계식 (f : 전부재유연도 Matrix)

               PT‧d=QT‧e로 부터

               d(격점변위) = (bT‧f‧b')‧P 

                           = F‧P        : 외적인 힘-변위 관계식 (F : 구조물유연도 Matrix)

               (A‧Q)T‧d=QT‧(B‧d)

               AT‧d=B‧d 이므로 AT=B

         ∵ P = A‧Q = A‧S‧e = A‧S‧B‧d

               = K‧d ( K = A‧S‧AT 구조물강도Matrix)

               d = K-1‧P

               Q = S‧e = S‧B‧d = S‧AT‧d

3. 응력법과 변위법의 비교

   양 방법의 해석 과정에서의 기본적인 바탕에는 별 차이가 없으며 어느 방법을 택하느냐는 계산상의 편의
   가 어느쪽에 있느냐에 달려있다.

   두 방법의 몇가지 특성을 살펴보면 다음과 같다.

   ⑴ 유연도 Matrix와 강성도 Matrix사이에는 역의 관계가 성립함.

   ⑵ 응력법에서는 부정정력이 미지수이고, 변위법에서는 격점변위가 미지수이므로 풀어야 할 방정식의 수
      는 변위법은 자유도 수이고 응력법은 부정정력 수임.

   ⑶ Matrix 운용면에서 보면
      - 변위법 : K = A‧S‧AT 로 간단함. 복잡한 구조물인 경우에는 직접강도법으로 전부재강도 Matrix KG
        를 쉽게 구함.
      - 응력법 : 외력 및 부정정력에 대한 힘변환Matrix bp,bx 구성등 보다 복잡함.

   ⑷ 컴퓨터 프로그래밍시
       - 변위법 : 격점 변위, 부재 제한
       - 응력법 : 격점, 부정정력, 부재 제한

   ⑸ 컴퓨터 프로그램 작성시
       - 변위법 : 변위가 미지수이므로 체계적 적용가능
       - 응력법 : 부정정력이 미지수이므로 체계적 적용곤란

   ⑹ 계산과정 편리함 측면
       - 변위법 : 격점변위 적고, 부정정수가 많은 구조물 유리
       - 응력법 : 격점변위 많고, 부정정수가 적은 구조물 유리

4. 결 론

  이상에서 살펴본대로 두 방법은 구조해석 접근 과정에서 미지수 선택방법에서 오는 차이때문에 해석과정
  이 서로 상이할 뿐 다음 3가지 조건을 적절히 적용하고 있다.

  1) 평형방정식( Equilibrium of Forces )

  2) 적합방정식( Compatibility of Deformations )

  3) Hook's Law

  고전적인 탄성구조물의 해석방법들은 결국에는 연립1차방정식을 푸는 일로 귀착되며 이방정식을 푸는 과정을 매트릭스대수를 이용하여 푸는 방법을 매트릭스 해법 또는 미소요소의 연속으로 보지않고 유한개의 조각의 합성으로 보기 때문에 유한요소법이라한다.   따라서, 이 매트릭스해법의 기본절차가 응력법과 변위법으로 구분되는데 양자는 이원성이 존재한다. 즉, 변위법은 풀어야 할 연립방정식의 수는 자유도의 수와 일치하고 응력법에서는 부정정력의 수와 일치한다.   일반적으로 부정정력수보다 자유도의 수가 많지만 절점변위가 많고 부정정력이 적은 경우를 제외하고는 변위법이 더 많이 사용되고 있다.

  그 이유는 다음과 같다.
  1) 변위법이 응력법보다 체계적이어서 컴퓨터 프로그램 작성 유리

  2) 변위법은 정정, 부정정 구조물에 똑같은 계산절차 사용

  3) 복잡한 구조물인 경우 직접강도법을 이용하면 구조물강도매트릭스 구성이 쉬움

  4) 변위법은 구조물 강도매트릭스가 Well-Condition이 되는것이 보통임. 따라서, 변위법을 이용할 경우 많
     은 수의 연립방정식이 발생함에도 불구하고 응력법보다 상당한 이점이 있다.